A ideia central é que, com 8 dedos, provavelmente teríamos desenvolvido um sistema de numeração de base 8 (octal), em vez do sistema decimal (base 10).

No sistema octal, os algarismos vão de 0 a 7. Assim, cada posição representa potências de 8:

• 8⁰ = 1
• 8¹ = 8
• 8² = 64

Agora, convertemos os números decimais para base 8:

a) 12 (decimal)
12 ÷ 8 = 1 resto 4
→ 12 = 14₈

Resposta: 14

b) 100 (decimal)
100 ÷ 8 = 12 resto 4
12 ÷ 8 = 1 resto 4
→ 100 = 144₈

Resposta: 144

c) 1234 (decimal)
1234 ÷ 8 = 154 resto 2
154 ÷ 8 = 19 resto 2
19 ÷ 8 = 2 resto 3
2 ÷ 8 = 0 resto 2
→ 1234 = 2322₈

Resposta: 2322

Potências de 8:

• 8⁰ = 1
• 8¹ = 8
• 8² = 64
• 8³ = 512
• 8⁴ = 4096

Se a espécie humana tivesse evoluído com 12 dedos, provavelmente usaríamos um sistema de numeração de base 12 (duodecimal).

Nesse sistema, usamos os algarismos de 0 a 9 e mais dois símbolos extras:

• A = 10
• B = 11

Cada posição representa potências de 12:

• 12⁰ = 1
• 12¹ = 12
• 12² = 144

Agora, convertemos os números decimais para base 12:

a) 12 (decimal)
12 ÷ 12 = 1 resto 0
→ 12 = 10₁₂

Resposta: 10

b) 100 (decimal)
100 ÷ 12 = 8 resto 4
→ 100 = 84₁₂

Resposta: 84

c) 1234 (decimal)
1234 ÷ 12 = 102 resto 10 (A)
102 ÷ 12 = 8 resto 6
8 ÷ 12 = 0 resto 8
→ 1234 = 86A₁₂

Resposta: 86A

Potências de 12:

• 12⁰ = 1
• 12¹ = 12
• 12² = 144
• 12³ = 1728

Um número com 10 bits é uma sequência de 10 dígitos binários, onde cada dígito pode ser 0 ou 1.

Quantidade de números possíveis#

Cada bit tem 2 possibilidades. Portanto, o total de combinações é: 2¹⁰ = 1024

Resposta: 1024 números diferentes.

Menor valor#

O menor número ocorre quando todos os bits são 0: 00 0000 0000₂ = 0

Resposta: 0

Maior valor#

O maior número ocorre quando todos os bits são 1: 11 1111 1111₂

Esse valor corresponde a: 2¹⁰ − 1 = 1023

Resposta: 1023

Para cada número, fazemos a conversão para binário e usamos o menor número de bits possível (ou seja, sem zeros à esquerda).

Para converter um número decimal em binário, fazemos divisões sucessivas por 2, anotando os restos. O número binário é formado pela leitura dos restos de baixo para cima.

a) 1001 (decimal)
1001 ÷ 2 = 500 resto 1
500 ÷ 2 = 250 resto 0
250 ÷ 2 = 125 resto 0
125 ÷ 2 = 62 resto 1
62 ÷ 2 = 31 resto 0
31 ÷ 2 = 15 resto 1
15 ÷ 2 = 7 resto 1
7 ÷ 2 = 3 resto 1
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 1001 = 1111101001₂

Resposta: 11 1110 1001

b) 256 (decimal)
256 ÷ 2 = 128 resto 0
128 ÷ 2 = 64 resto 0
64 ÷ 2 = 32 resto 0
32 ÷ 2 = 16 resto 0
16 ÷ 2 = 8 resto 0
8 ÷ 2 = 4 resto 0
4 ÷ 2 = 2 resto 0
2 ÷ 2 = 1 resto 0
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 256 = 100000000₂

Resposta: 1 0000 0000

c) 4095 (decimal)
4095 ÷ 2 = 2047 resto 1
2047 ÷ 2 = 1023 resto 1
1023 ÷ 2 = 511 resto 1
511 ÷ 2 = 255 resto 1
255 ÷ 2 = 127 resto 1
127 ÷ 2 = 63 resto 1
63 ÷ 2 = 31 resto 1
31 ÷ 2 = 15 resto 1
15 ÷ 2 = 7 resto 1
7 ÷ 2 = 3 resto 1
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 4095 = 111111111111₂

Resposta: 1111 1111 1111

d) 545 (decimal)
545 ÷ 2 = 272 resto 1
272 ÷ 2 = 136 resto 0
136 ÷ 2 = 68 resto 0
68 ÷ 2 = 34 resto 0
34 ÷ 2 = 17 resto 0
17 ÷ 2 = 8 resto 1
8 ÷ 2 = 4 resto 0
4 ÷ 2 = 2 resto 0
2 ÷ 2 = 1 resto 0
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 545 = 1000100001₂

Resposta: 10 0010 0001

Para converter um número binário em decimal, somamos as potências de 2 correspondentes às posições onde há dígito 1.

a) 1101001101₂
= 1·2⁹ + 1·2⁸ + 0·2⁷ + 1·2⁶ + 0·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰
= 512 + 256 + 64 + 8 + 4 + 1
= 845

Resposta: 845

b) 10010010₂
= 1·2⁷ + 0·2⁶ + 0·2⁵ + 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 0·2⁰
= 128 + 16 + 2
= 146

Resposta: 146

c) 10000₂
= 1·2⁴
= 16

Resposta: 16

d) 10001₂
= 1·2⁴ + 1·2⁰
= 16 + 1
= 17

Resposta: 17

A ideia central é que o sistema binário não representa, originalmente, dois estados opostos no sentido conceitual (como “ligado” versus “desligado”), mas sim a presença ou ausência de uma grandeza física.

Em circuitos digitais, por exemplo, não existe uma “essência do desligado”. O que há é:

• presença de tensão (nível alto)
• ausência de tensão (nível baixo)

Por isso, faz mais sentido interpretar os estados como:

• “ligado” e “não ligado”
• “aceso” e “não aceso”

e não como pares simétricos como “ligado/desligado” ou “aceso/apagado”. Esses últimos carregam uma interpretação linguística de oposição, mas fisicamente o sistema distingue apenas se uma grandeza está presente ou não.

Essa perspectiva é importante porque aproxima o conceito de número binário da sua implementação real: dispositivos eletrônicos detectam níveis (faixas de tensão), não significados semânticos.

Em resumo, o binário é menos sobre dualidade filosófica e mais sobre detecção de estados físicos discretos.

Para converter de binário para octal e hexadecimal, agrupamos os bits:

• Octal (base 8): grupos de 3 bits (da direita para a esquerda)
• Hexadecimal (base 16): grupos de 4 bits (da direita para a esquerda)

Completamos com zeros à esquerda, se necessário.

a) 1101001101₂

Octal:
001 101 001 101
→ 1 5 1 5 → 1515₈

Hexadecimal:
0011 0100 1101
→ 3 4 D → 34D₁₆

b) 10010010₂

Octal:
010 010 010
→ 2 2 2 → 222₈

Hexadecimal:
1001 0010
→ 9 2 → 92₁₆

c) 10000₂

Octal:
010 000
→ 2 0 → 20₈

Hexadecimal:
0001 0000
→ 1 0 → 10₁₆

d) 110001111₂

Octal:
110 001 111
→ 6 1 7 → 617₈

Hexadecimal:
0001 1000 1111
→ 1 8 F → 18F₁₆

e) 1010111011110011₂

Octal:
001 010 111 011 110 011
→ 1 2 7 3 6 3 → 127363₈

Hexadecimal:
1010 1110 1111 0011
→ A E F 3 → AEF3₁₆

Para converter de octal para binário, substituímos cada dígito octal por um grupo de 3 bits (pois 8 = 2³):

0 → 000
1 → 001
2 → 010
3 → 011
4 → 100
5 → 101
6 → 110
7 → 111

a) 71₈
7 → 111
1 → 001
→ 111001₂

b) 416₈
4 → 100
1 → 001
6 → 110
→ 100001110₂

c) 1110₈
1 → 001
1 → 001
1 → 001
0 → 000
→ 001001001000₂
(Removendo zeros à esquerda: 1001001000₂)

d) 756₈
7 → 111
5 → 101
6 → 110
→ 111101110₂

e) 1237₈
1 → 001
2 → 010
3 → 011
7 → 111
→ 001010011111₂
(Removendo zeros à esquerda: 1010011111₂)

Para converter de hexadecimal para binário, substituímos cada dígito hexadecimal por um grupo de 4 bits (pois 16 = 2⁴):

0 → 0000
1 → 0001
2 → 0010
3 → 0011
4 → 0100
5 → 0101
6 → 0110
7 → 0111
8 → 1000
9 → 1001
A → 1010
B → 1011
C → 1100
D → 1101
E → 1110
F → 1111

a) 71₁₆
7 → 0111
1 → 0001
→ 01110001₂
(Removendo zero à esquerda: 111 0001₂)

b) AB₁₆
A → 1010
B → 1011
→ 1010 1011₂

c) F810₁₆
F → 1111
8 → 1000
1 → 0001
0 → 0000
→ 1111 1000 0001 0000₂

d) 1A₁₆
1 → 0001
A → 1010
→ 00011010₂
(Removendo zeros à esquerda: 1 1010₂)

e) AAB0₁₆
A → 1010
A → 1010
B → 1011
0 → 0000
→ 1010 1010 1011 0000₂

A diferença está no prefixo:

• Mbit (megabit) = 10⁶ bits
• Mibit (mebibit) = 2²⁰ bits = 1.048.576 bits

Para converter de Mbit/s para Mibit/s:

1 Mbit/s = 10⁶ / 2²⁰ ≈ 0,9537 Mibit/s

a) 15 Mbit/s
15 × 0,9537 ≈ 14,31 Mibit/s

b) 30 Mbit/s
30 × 0,9537 ≈ 28,61 Mibit/s

c) 50 Mbit/s
50 × 0,9537 ≈ 47,68 Mibit/s

d) 100 Mbit/s
100 × 0,9537 ≈ 95,37 Mibit/s

Resumo#

O ponto central é a diferença entre os prefixos binários e decimais:

• 1 TiB (tebibyte) = 2⁴⁰ bytes = 1.099.511.627.776 bytes
• 1 TB (terabyte) = 10¹² bytes = 1.000.000.000.000 bytes

Queremos saber quantos TB (decimais) são necessários para armazenar 1 TiB:

1 TiB = 2⁴⁰ bytes ≈ 1,0995 × 10¹² bytes
⇒ 1 TiB ≈ 1,0995 TB

Conclusão#

Para armazenar 1 TiB, você precisa de um disco de pelo menos 1,1 TB.

Na prática, como os discos são vendidos em tamanhos padronizados, o mínimo recomendado é:

Resposta: um disco de 2 TB.

Primeiro, representamos o valor absoluto em binário com 16 bits.

215 (decimal):

215 ÷ 2 = 107 resto 1
107 ÷ 2 = 53 resto 1
53 ÷ 2 = 26 resto 1
26 ÷ 2 = 13 resto 0
13 ÷ 2 = 6 resto 1
6 ÷ 2 = 3 resto 0
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 215 = 11010111₂

Com 16 bits:
0000 0000 1101 0111

a) Sinal e valor#

O bit mais significativo indica o sinal:

• 0 → positivo
• 1 → negativo

Mantemos o valor e colocamos sinal 1:

→ 1000 0000 1101 0111

b) Complemento a 1#

Invertemos todos os bits do valor positivo:

0000000011010111
→ 1111 1111 0010 1000

c) Complemento a 2#

Somamos 1 ao complemento a 1:

1111 1111 0010 1000
                + 1
-------------------
1111 1111 0010 1001

Resumo#

Primeiro, representamos o número 215 em binário com 16 bits.

215 (decimal):

215 ÷ 2 = 107 resto 1
107 ÷ 2 = 53 resto 1
53 ÷ 2 = 26 resto 1
26 ÷ 2 = 13 resto 0
13 ÷ 2 = 6 resto 1
6 ÷ 2 = 3 resto 0
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 215 = 11010111₂

Com 16 bits:
0000 0000 1101 0111

a) Sinal e valor#

Para números positivos, o bit de sinal é 0:

→ 0000 0000 1101 0111

b) Complemento a 1#

Para números positivos, a representação é igual ao valor binário:

→ 0000 0000 1101 0111

c) Complemento a 2#

Também igual ao valor binário para números positivos:

→ 0000 0000 1101 0111

Resumo#

Ou seja, números positivos têm a mesma representação nas três codificações.

Na representação em excesso–N, somamos uma constante (viés) ao valor antes de convertê-lo para binário.

Aqui, N = 511.

Passo 1: aplicar o viés#

Valor: −215

−215 + 511 = 296

Passo 2: converter 296 para binário#

296 ÷ 2 = 148 resto 0
148 ÷ 2 = 74 resto 0
74 ÷ 2 = 37 resto 0
37 ÷ 2 = 18 resto 1
18 ÷ 2 = 9 resto 0
9 ÷ 2 = 4 resto 1
4 ÷ 2 = 2 resto 0
2 ÷ 2 = 1 resto 0
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 296 = 100101000₂

Resultado em excesso–511#

1 0010 1000

Representação de –215 no menor número de bits#

Qual o menor n?#

Para representar –215 em complemento a 2, precisamos que o intervalo cubra esse valor.

Com n bits, o menor valor representável é -(2^n-1-1) e o maior valor é +2^n-1.

Precisamos que:

-(2^n-1-1) ≤ -215

Verificando:

2⁷ - 1 = 127 < 215 ⇒ insuficiente

2⁸ - 1 = 255 ≥ 215 ⇒ suficiente

N = 2⁸ - 1 = 255.

Portanto N = 255.

Resumo#

• Representação (excesso–511): 01 0010 1000₂
• Menor N possível: 255 (excesso-255)
• Número mínimo de bits: 9

Primeiro, representamos os números com 8 bits.

Conversão para binário#

120 (decimal):
120 = 0111 1000₂

8 (decimal):
8 = 0000 1000₂

Soma binária#

 0111 1000  
+0000 1000
----------
=1000 0000  

Resultado: 1000 0000₂

Interpretação do resultado#

O valor obtido depende da forma de interpretação dos números binários:

1) Sem sinal (unsigned)#

10000000₂ = 128

Não há erro — o resultado está correto.

2) Sinal e valor#

O bit mais significativo indica o sinal:

• 1 → número negativo
• valor = 0000000

Resultado: −0 (uma representação ambígua)

➡️ Aqui ocorre overflow, pois a soma de dois números positivos resultou em um valor negativo.

3) Complemento a 1#

Invertendo os bits para obter o valor:

10000000 → 01111111 = 127

Resultado: −127

➡️ Também há overflow, pois o resultado correto (128) está fora do intervalo representável (−127 a +127).

4) Complemento a 2#

Interpretando diretamente:

10000000₂ = −128

➡️ Há overflow, pois somamos dois números positivos e obtivemos um negativo.
O intervalo com 8 bits é de −128 a +127, e 128 não pode ser representado.

Conclusão#

• A soma binária produz 10000000₂
• O resultado correto (128) não cabe em 8 bits com sinal
• O comportamento varia conforme a representação:
  • unsigned: correto (128)
  • sinal/valor: −0 (inconsistência)
  • complemento a 1: −127
  • complemento a 2: −128

➡️ Overflow ocorre quando o resultado matemático não pode ser representado com o número de bits disponível.

Queremos representar −215,5 em notação de vírgula fixa. Primeiro, convertemos o valor absoluto.

Parte inteira (215)#

215 ÷ 2 = 107 resto 1
107 ÷ 2 = 53 resto 1
53 ÷ 2 = 26 resto 1
26 ÷ 2 = 13 resto 0
13 ÷ 2 = 6 resto 1
6 ÷ 2 = 3 resto 0
3 ÷ 2 = 1 resto 1
1 ÷ 2 = 0 resto 1

→ 215 = 11010111₂

Parte fracionária (0,5)#

0,5 × 2 = 1,0 → parte inteira 1

→ 0,5 = 0,1₂

Representação em binário#

215,5 = 11010111,1₂

Inclusão do sinal#

Usando sinal e valor:

→ −215,5 = 1 11010111,1₂

Número mínimo de bits#

• Parte inteira: 8 bits
• Parte fracionária: 1 bit
• Sinal: 1 bit

Total: 10 bits

Resultado final#

1 11010111,1₂

Observação#

A notação de vírgula fixa exige definir previamente quantos bits são usados para a parte inteira e para a parte fracionária. Aqui usamos o mínimo necessário, mas em sistemas reais essa divisão é fixa (por exemplo, 16.16, 8.8 etc.).

Queremos representar −215,5 no padrão IEEE 754.

Passo 1: converter para binário#

Parte inteira:
215 = 11010111₂

Parte fracionária:
0,5 = 0,1₂

→ 215,5 = 11010111,1₂

Passo 2: normalização#

11010111,1₂ = 1,10101111₂ × 2⁷

Passo 3: sinal#

Número negativo → bit de sinal = 1

Precisão simples (32 bits)#

• Sinal: 1 bit
• Expoente: 8 bits (viés = 127)
• Mantissa: 23 bits

Expoente#

7 + 127 = 134
134 = 10000110₂

Mantissa#

Removendo o 1 implícito:
10101111 e completando com zeros:

10101111000000000000000

Resultado (32 bits)#

1 10000110 10101111000000000000000

Precisão dupla (64 bits)#

• Sinal: 1 bit
• Expoente: 11 bits (viés = 1023)
• Mantissa: 52 bits

Expoente#

7 + 1023 = 1030
1030 = 10000000110₂

Mantissa#

10101111 seguido de zeros até 52 bits:

1010111100000000000000000000000000000000000000000000

Resultado (64 bits)#

1 10000000110 1010111100000000000000000000000000000000000000000000

Observação#

Como 0,5 tem representação binária exata, o número −215,5 é representado sem erro de arredondamento em IEEE 754.

Queremos representar 0,1 (decimal) no padrão IEEE 754.

Passo 1: converter para binário#

Multiplicações sucessivas por 2:

0,1 × 2 = 0,2 → 0
0,2 × 2 = 0,4 → 0
0,4 × 2 = 0,8 → 0
0,8 × 2 = 1,6 → 1
0,6 × 2 = 1,2 → 1
0,2 × 2 = 0,4 → 0
…

→ padrão periódico:

0,1 = 0,00011001100110011…₂

Passo 2: normalização#

0,0001100110011… = 1,1001100110011… × 2⁻⁴

Passo 3: sinal#

Número positivo → bit de sinal = 0

Precisão simples (32 bits)#

• Sinal: 1 bit
• Expoente: 8 bits (viés = 127)
• Mantissa: 23 bits

Expoente#

−4 + 127 = 123
123 = 01111011₂

Mantissa (com arredondamento)#

10011001100110011001101

Resultado (32 bits)#

0 01111011 10011001100110011001101

Precisão dupla (64 bits)#

• Sinal: 1 bit
• Expoente: 11 bits (viés = 1023)
• Mantissa: 52 bits

Expoente#

−4 + 1023 = 1019
1019 = 01111111011₂

Mantissa (com arredondamento)#

1001100110011001100110011001100110011001100110011001

Resultado (64 bits)#

0 01111111011 1001100110011001100110011001100110011001100110011001

Observação#

O número 0,1 não tem representação finita em binário, resultando em uma dízima periódica.
Por isso, IEEE 754 armazena uma aproximação, o que pode causar pequenos erros de precisão em cálculos.